경제통계학 (1) : 확률의 정의

확률실험

확률실험은 실험결과가 확률적으로 나타나는 실험을 뜻한다. 말인즉슨, 실험 실행 전에 미리 나타날 결과를 예측할 수 없다는 것.
확률실험의 대표적인 예시로는 동전 던지기, 주사위 던지기 따위가 있다. 그러나 결과의 개수가 꼭 유한할 필요는 없는데, 예컨대 집을 청소하는 데 걸리는 시간도 확률실험으로 표현할 수 있다. 그 결과는 0보다 큰 실수가 된다.

표본공간

표본공간은 확률실험에서 얻을 수 있는 모든 가능한 결과의 집합을 뜻한다. 표본공간에 포함되는 결과들은 완전하고, 상호배타적이어야 한다. 

• 완전(exhaustive): 나열된 결과들은 모든 가능한 결과들을 포함한다
• 상호배타적(mutually exclusive): 두 가지 결과가 동시에 발생할 수 없다.

표본공간을 표시하는 기호는 $S$ 이다. 
표본공간의 예시로, 주사위를 던지는 확률실험을 생각해보자. 이 경우 $S = \{ 1,2,3,4,5,6 \}$이 된다.

사건

사건은 표본공간의 부분집합을 말한다. 그러니 $S$는 전체 사건이라고 할 수 있다.

예컨대 주사위를 던져 짝수가 나오는 사건을 $E$라 정의하면, $E= \{2,4,6\}$이다. 만약 주사위를 던져 2, 4, 6 중 하나가 나온다면, 사건 $E$가 일어났다고 한다.

사건은 기본적으로 집합이기 때문에, 집합에 적용되는 여러 개념들이 함께 활용될 수 있다.

• 합사건(union) : 사건 A와 사건 B 중 하나 또는 둘 모두가 발생하는 사건이다. 합사건은 $(A or B)$ 또는 $A \cup B$로 표시된다.
• 교사건(intersecrtion) : 사건 A와 사건 B가 동시에 발생하는 사건이다. 교사건은 $(A and B)$ 또는 $A \cap B$로 표시된다.
• 여사건(complement): 사건 A의 여사건은 사건 B가 발생하지 않는 사건이다. $A^c$로 표시된다.
• 상호배타적 (disjoint) : $A \cap B$가 공집합 ($\emptyset$)인 경우 두 사건 A와 B를 상호배타적이라고 한다.
• 분할(partition): 상호배타적인 사건 $B_1, B_2 ... $ 의 합집합이 전체 사건 $S$인 경우 $B_1, B_2, ... $는 S의 분할이다. 분할의 개수는 유한할 수도, 무한할 수도 있다.

확률함수

사건들의 집합을 $F$라 하자.
확률함수는 $F$에서 실수집합 $\mathbb{R}$로 가는 함수이다. 이때 이 함수는 다음의 공리들을 만족해야 한다.

확률함수 $P: F \rightarrow \mathbb{R}$ 는

• 모든 $E \in F$에 대해 $P(E) \geq 0$ 이다.
• $P(S) = 1$ 이다.
• $i \neq j$인 $i, j = 1, 2, ...$에 대해 $E_i \cap E_j = \emptyset$ 이라면
  $P(U_{i=1}^{\infty}E_i) =  \Sigma_{i=1}^{\infty}P(E_i) $ 이다.

위의 공리로부터 아래의 법칙들이 유도된다.

• 여사건법칙 : $P(A^c) = 1 - P(A)$
• $P(\emptyset) = 0$
• 덧셈법칙 : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• $A \leq B$ 이면 $P(A) \leq P(B)$
• 표본공간을 $S$라고 하면 모든 사건 $A \subset S$에 대하여 $0 \leq P(A) \leq 1$
• $P(A \cup B) \leq P(A) + P(B)$
• $P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$