Normal Form 이란?
한국어로는 '일반형 게임'.
게임이론에 등장하는 게임의 종류 중 하나로, 전략형 게임이라고도 한다.
일반형 게임은 게임을 '행렬'의 형태로 표현할 수 있다는 점이 특징.
일반형 게임은 각 경기자의 모든 선택 가능한 전략과 보수를 표현할 수 있고 특히 행렬로 표현할 수 있으며, 이때 이러한 행렬을 '보수행렬'(payoff matrix)이라고 한다.
일반형 게임 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전
위키백과, 우리 모두의 백과사전. 일반형 게임 또는 보수 행렬(Normal-form game 또는 pay-off matrix)이란, 게임 이론에 등장하는 게임의 종류 중 하나로, 전략형 게임이라고도 한다. 전개형 게임과 달리
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조금 더 자세하게 살펴보자.
- player의 set이 있다. → $I = {1,2,...,n}$
- 각 i번째 player는 전략의 set을 갖고 있다. → $S_i$
- 각 player는 $s_i \in S_i$ 를 선택한다. 이때 player는 다른 이들이 어떤 전략을 선택했는지 알 수 없다.
- 각 player가 선택한 전략들은 벡터를 형성하고, 이것을 strategy profile 이라 한다. → $s = (s_1, s_2, ... , s_n)$
- $s_{-i}$는 i번째 player의 선택을 제외한 strategy profile이다.
→ $s_{-i} = (s_1, s_2, ... , s_{i-1}, s_{i+1}, ... , s_n)$ - player들은 profile $s$에 따라 효용 또는 보상을 얻게 된다.
- 가능한 strategy profile들의 set을 $S$라 하자. 여기서 하나의 함수가 있다고 가정한다. 바로 모든 strategy profile 각각에 대해 i번째 player의 효용을 나타내주는 함수이다. → $u_i: S → \mathbb{R}$
- 이 $u_i$가 나타내는 게 반드시 '돈'일 필요는 없다. 여러 가정에 따라 이타성을 반영할 수도 있고, 도덕성을 넣을 수도 있다. 어찌됐든, 최종적인 payoff에 숫자로 반영하면 된다.
- player들은 $u_i(s)$의 기댓값을 최대화하려 한다. 즉 '합리성'이 가정되어 있다.
- 더 나아가, 각 player는 다른 이들도 자신과 마찬가지로 합리성을 가지고 있음을 알고 있다. (후술하겠지만, game solution을 찾는데 반드시 필요한 가정이 아닐 때도 있다)
Normal Form의 예시
| C | D | |
| C | (4,4) | (0,5) |
| D | (5.0) | (1,1) |
위의 payoff matrix는 그 이름도 유명한 '죄수의 딜레마'의 예시이다.
괄호 안의 숫자는, 각 player의 payoff 를 의미한다.
(0,2)라면 player1은 0의 payoff를, player2는 2의 payoff를 받는다는 뜻.
또한 1열의 C, D는 player1이 선택하는 전략, 1행의 C,D는 player2가 선택하는 전략이라고 보면 된다.
즉, 위 테이블에는 각 player가 선택 가능한 전략과, 그에 따른 payoff가 표현되어 있는 셈.
간단한 예시이니 어떻게 푸는지 살펴보자.
우선 player1의 입장에서만 생각해보면, player 1은 상대방이 무엇을 선택하든 D를 선택하는 것이 이득이다.
이는 player2의 입장에서도 마찬가지로, 이에 따라 각 player는 D를 선택하게 된다.
즉, 게임의 솔루션은 (D,D)이고, 각각 1씩의 payoff를 얻게 된다.
다음 글에서 살펴보겠지만 이런 경우에 우리는 D strictly dominates C라 표현한다.
또한 위에서 잠깐 기술했듯, 게임이론에서 드물긴 하지만 상대방이 합리적으로 행동한다는 것을 알지 못하더라도 하나의 전략이 무조건 다른 전략보다 우월하(거나 같)다면 이처럼 solution을 찾을 수 있다.
Strict Dominance 에선 다음 글에 정리하겠다.
한편, '파레토 최적'에 대한 개념을 잠깐 언급해야 할 것 같은데, 파레토 최적은 '하나의 자원 배분 상태에서 다른 사람에게 손해가 가도록 하지 않고서는 어떤 한 사람에게 이득이 되는 변화를 만들어내는 것이 불가능'한 상황을 말한다.
파레토 최적 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전
위키백과, 우리 모두의 백과사전. 파레토 효율(-效率, Pareto efficiency) 또는 파레토 최적(-最適, Pareto optimality)이란 게임이론과 엔지니어링 및 기타 다양한 사회과학 분야에서 쓰이는 경제학적 개념
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'죄수의 딜레마' 게임에서 파레토 최적은 (C,C)이다.
결국 개별 player들이 합리적인 판단을 했음에도 불구하고 파레토 최적엔 도달하지 못했다.
이처럼 게임이론은 경제학의 여러 이론들과는 달리 게임 자체에 외부효과(externality)를 내재시켜 표현하는 것이 특징이다. 예컨대 단순 수요공급 이론에선 설명할 수 없는 시장실패 상황 등을 묘사할 수 있는 것이다.
본 글은 서울대학교 이지홍교수님의 '게임이론 및 응용' 수업을 수강하고, 복습차 정리한 내용입니다. 별도의 출처 기재가 없는 한, 내용의 출처는 해당 수업에 근거하고 있음을 알려드립니다.
또한 학부생따리의 정리이니 내용에 오류가 있을 수 있음을 감안하시고, 참고만 하시기 바랍니다.
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